2017考研大綱解析：數(shù)學(xué)大綱解析之線性代數(shù)(五)

　　2017年的考研數(shù)學(xué)大綱剛剛出爐，和2016年相比，大綱基本上沒有變動，考研數(shù)學(xué)的三個學(xué)科-高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，各個學(xué)科所占的比例不變、考試題型不變、各科難點和重點與往年也相同。所以說，考生們可以放下心來，按照原定的規(guī)劃進行復(fù)習(xí)就可以了。

　　具體到線性代數(shù)這一學(xué)科，在復(fù)習(xí)的時候，每一個模塊的重點、難點應(yīng)該如何把握呢?本文就以實對稱矩陣這一模塊為例，介紹一下考生在這一個模塊的復(fù)習(xí)重點。

　　所謂實對稱矩陣是指元素全為實數(shù)的對稱矩陣，實對稱矩陣是一種比較特殊的矩陣，主要是因為除了一般矩陣具有的性質(zhì)之外，實對稱矩陣還有著一些特殊的性質(zhì)，而這些特殊的性質(zhì)往往會成為考試當中的考點。具體來說，實對稱矩陣有三條特殊的性質(zhì)：1)實對稱矩陣的特征值全為實數(shù)，這是與非實對稱矩陣的第一個不同之處，因為，非實對稱矩陣的特征值有可能是虛數(shù);2)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量必正交，而非實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量只是線性無關(guān)，不一定正交;3)實對陣矩陣有個線性無關(guān)的特征向量，即實對稱矩陣必可相似對角化，并且存在一個正交矩陣，使得，而非實對稱矩陣只有當特征值的重數(shù)等于其線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)時，才可相似對角化。

　　考生在復(fù)習(xí)這一模塊時，把握住兩個考點：第一，直接考查實對稱矩陣的三條特殊性質(zhì)。比如，對于性質(zhì)1)，考試中，可以利用實對稱矩陣的特征值均為實數(shù)，來確定特征值的取值情況;對于性質(zhì)2)，題目中可能會給出實對稱矩陣的其中一個或若干個特征值的特征向量，讓我們求出另一個特征值的特征向量，這時，我們可以根據(jù)屬于不同特征值的特征向量正交來求解;對于性質(zhì)3)，可以從實對稱矩陣必可相似對角化來考查大家，由矩陣可相似對角化的充要條件—重特征值必有個線性無關(guān)的特征向量可知，對于實對稱矩陣的重特征值，有。實對稱矩陣這一塊的第二個考點是計算正交相似對角化矩陣。由于正交矩陣指的是列向量組為單位正交向量組的矩陣，再結(jié)合矩陣的相似對角化矩陣的計算方法以及實對稱矩陣的性質(zhì)3)可知，實對稱矩陣的正交相似對角化矩陣的具體計算步驟為：1)計算矩陣的所有特征值與屬于不同特征值的特征向量;2)將屬于同一特征值的特征向量正交化，因為，屬于不同特征值的特征向量必正交，所以，我們只需將屬于同一個特征值的特征向量正交化即可;正交化時，所用的方法就是施密特正交化方法，對于該方法，大家只需記得前兩個公式就可以了，即，;3)將所有的特征向量單位化。最后將所得到的列向量組組成一個矩陣，得到的就是矩陣的相似對角化矩陣。

　　總的來說，實對稱矩陣這個模塊的題目很綜合，而且計算量比較大，所以，需要同學(xué)們在做題的時候，要做到細心、有耐心，并且通過多做練習(xí)，提高做題的準確度與速度。