2016考研數(shù)學(xué)：解析微積分之函數(shù)連續(xù)

　　摘要：連續(xù)——是我們微積分學(xué)中，對(duì)極限的第一個(gè)應(yīng)用。從它字面意思或是深入到幾何意義就是說(shuō)，函數(shù)的圖像是連綿不斷的。在我們考研當(dāng)中，對(duì)這個(gè)概念也是親睞有加，在選擇題中反復(fù)出現(xiàn)。

　　?首先，所謂連續(xù)即“極限值=函數(shù)值”
　　這一個(gè)等式包含了三個(gè)方面：
　　1、函數(shù)必須在該點(diǎn)處有定義；
　　2、函數(shù)必須在這個(gè)點(diǎn)附近存在極限；
　　3、是前面1、2兩點(diǎn)的內(nèi)容必須相等，同時(shí)滿足這三個(gè)條件，才叫做函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)。判斷函數(shù)連續(xù)，要先求極限，所以，如何求函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等)，是一個(gè)隱含的知識(shí)點(diǎn)。

　　?其次，我們自然會(huì)問(wèn)，會(huì)不會(huì)有不連續(xù)的點(diǎn)呢？
　　答案當(dāng)然是肯定的，不連續(xù)的點(diǎn)就是我們所說(shuō)的——間斷點(diǎn)。那么所謂“不連續(xù)”就是不能同時(shí)滿足連續(xù)的三個(gè)條件的點(diǎn)：
　　1、函數(shù)在該點(diǎn)處沒(méi)有定義；
　　2、若函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限不存在；
　　3、雖然函數(shù)在該點(diǎn)處有定義，極限也存在，但是二者不相等。
　　對(duì)于間斷點(diǎn)，根據(jù)左右極限存在與否，我們把它分為兩類。若左右極限都存在的間斷點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn)；若左右極限相等，這個(gè)間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)；若左右極限不相等，這個(gè)間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)；若左右極限中至少有一個(gè)不存在(包含極限等于無(wú)窮的情形)的間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)；若其中一個(gè)極限是趨于無(wú)窮的，這個(gè)間斷點(diǎn)就稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)；若極限是在兩個(gè)常數(shù)之間來(lái)回振蕩的，就稱為振蕩間斷點(diǎn)。

　　?三個(gè)性質(zhì)
　　最后，對(duì)于連續(xù)性最重要的應(yīng)用或者是說(shuō)考研中的一個(gè)小難點(diǎn)，就是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：最大最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理。

　　?如何考察
　　對(duì)于上面的知識(shí)點(diǎn)，我們看看在考研中是怎么考察的。對(duì)于連續(xù)的概念，難度上屬于簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)。首先，在十五年前，對(duì)于連續(xù)性的考查，更多的是給一個(gè)分段函數(shù)，然后判斷分段點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性，這是一個(gè)基本題型，只需判斷連續(xù)的三個(gè)條件即可，其實(shí)主要是考查求函數(shù)某點(diǎn)處左右極限的值。然后，進(jìn)入20世紀(jì)，考查又傾向于在選擇題當(dāng)中，給一個(gè)函數(shù)，讓大家來(lái)判斷這個(gè)函數(shù)有多少間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的類型是什么，這個(gè)又比之前考查的更高一層。最后，就是在邏輯推理題中，考查零點(diǎn)定理，介值定理，通常，考查介值定理的時(shí)候也會(huì)用到最值定理。我們歸納題型知道，判斷方程根的情況的時(shí)候，一般用零點(diǎn)定理；題干中包含好幾個(gè)函數(shù)值相加的時(shí)候，一般用介值定理。

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