2016考研數(shù)學(xué)：關(guān)于定積分的三點(diǎn)建議

　　考研數(shù)學(xué)中的高數(shù)部分從本質(zhì)上講只有三種運(yùn)算：極限，導(dǎo)數(shù)與積分。首先看一下高等數(shù)學(xué)的整體框架：

　　我們可以看到：在學(xué)習(xí)定積分之前，我們首先學(xué)習(xí)了不定積分。很多同學(xué)把不定積分與定積分搞混淆。其實(shí)不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，本質(zhì)還是導(dǎo)數(shù)的延伸。而真正的積分部分是定積分。因此，各位考生要注意以下的三點(diǎn)：

　　一、明晰知識(shí)體系

　　定積分這章非常重要，考試考查的內(nèi)容多而廣。這章包括：定積分的定義，性質(zhì)；微積分基本定理；反常積分；定積分的應(yīng)用。這四個(gè)部分各有側(cè)重點(diǎn)。其中定積分的定義是重點(diǎn)；要理解微積分基本定理；要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分大家了解就行了。

　　二、深刻理解知識(shí)點(diǎn)

　　在掌握了知識(shí)體系之后，自然就需要明確具體的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)了。首先是定積分的定義及性質(zhì)。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺得同學(xué)們不僅要會(huì)用自己的話來(lái)表述定義，而且要一步一步的寫出精髓。比如說(shuō)從定義中體現(xiàn)的思想：微元法。同學(xué)們要理解分割，近似，求和，取極限這四個(gè)步驟。同時(shí)要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對(duì)定積分定義的考察在每年考研中是必考內(nèi)容。所以希望引起大家的足夠重視。

　　至于性質(zhì)，大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區(qū)間可加性；比較定理；積分中值定理。對(duì)這三個(gè)性質(zhì)大家一定要知道是怎么來(lái)的。考研中有關(guān)積分的證明題多多少少會(huì)用到這三個(gè)性質(zhì)。所以大家只有理解了才懂得在什么時(shí)候用。
　　然后是微積分基本定理。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)非常重要。因?yàn)樗x了一種新的函數(shù)：積分上限函數(shù)。而且在一定的條件下，它的導(dǎo)數(shù)就是f(x)。所以我們擴(kuò)展了函數(shù)類型。那么導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的切線與法線；單調(diào)性；極值；凹凸性等應(yīng)用就可以與積分上限函數(shù)聯(lián)系了。同時(shí)提出了牛頓-萊布尼茨公式，使得我們可以用不定積分來(lái)計(jì)算定積分。希望同學(xué)們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過(guò)程。
　　補(bǔ)充說(shuō)一點(diǎn)：求定積分常用的方法是基本積分公式；換元積分法(湊微分法和換元積分法)；分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點(diǎn)。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過(guò)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式推出了湊微分法;通過(guò)三角代換，根式代換等提出了換元積分法。而我們通過(guò)相乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來(lái)的才能更好的使用這些方法。接著大家要注意變限積分求導(dǎo)了，最好請(qǐng)大家自己證明下。
　　第三個(gè)要說(shuō)的是反常積分。對(duì)這一部分，同學(xué)們了解基本定義，會(huì)用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應(yīng)用。其實(shí)就是微元法在幾何以及物理上面的應(yīng)用。同樣的，同學(xué)們要知道數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)二，數(shù)學(xué)三的區(qū)別。在幾何上，數(shù)學(xué)三只用掌握用定積分求面積和簡(jiǎn)單幾何體的體積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)曲面面積。在物理應(yīng)用方面，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二主要掌握用定積分求變力沿直線做功，抽水做功，液太靜壓力和質(zhì)心問(wèn)題。但核心是，同學(xué)們一定要掌握微元法的思想。

　　三、適量習(xí)題
　　在大家理解了重點(diǎn)知識(shí)以及明確了考試重點(diǎn)后就需要做題鞏固了。在這里，我堅(jiān)決反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)。因?yàn)榇蠹业臅r(shí)間有限并且題海戰(zhàn)術(shù)在沒理解知識(shí)點(diǎn)之前是沒用的?，F(xiàn)在社會(huì)做事情都講究高效，我希望大家能夠事半功倍。那么針對(duì)定積分這章，大家先針對(duì)我說(shuō)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個(gè)題就要理解，要反思，要多想想考察了知識(shí)點(diǎn)那些方面。然后對(duì)次重點(diǎn)知識(shí)輔助做一些題，了解就夠了。

　　總之，希望大家經(jīng)過(guò)這三個(gè)步驟能夠?qū)W習(xí)好定積分，為以后的高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。祝大家考研成功!

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　　（編輯：洪雅倪）