數學寒假作業(yè)及規(guī)劃

　　考研幫說：數學的復習就是讀書+做題+思考；同時還需要科學的學習計劃，才能迅速并有效地掌握所學知識。為此幫幫制定這個寒假數學學習計劃，希望同學在學習中能達到事半功倍的效果。

　　?第一天

　　學習任務：極限的概念、性質、四則運算法則

　　大綱要求：

　　1.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系

　　2.掌握極限的性質及四則運算法則

　　重難點提示：

　　數列極限與子列極限關系，函數極限的保號性，函數極限與數列極限的關系及四則運算

　　備注：

　　1.函數極限存在的充要條件是左極限、右極限存在且相等

　　2.使用極限四則運算的前提是參與運算的極限均存在

　　?第二天

　　學習任務：無窮小的比較

　　大綱要求：

　　1.理解無窮小量、無窮大量的概念

　　2.掌握無窮小量的比較方法

　　3.會用等價無窮小量求極限

　　重難點提示：

　　高階，等價無窮小的定義，等價無窮小替換定理，八類常用的等價無窮小

　　備注：

　　1.無窮小的比較實質是趨于零速度快慢的比較

　　2.掌握八類常用的等價無窮小的推廣，并靈活應用

　　?第三到五天



　　?第六天

　　學習任務：夾逼定理、單調有界原理

　　大綱要求：

　　1.掌握極限存在的兩個準則

　　2.會利用夾逼定理和單調有界原理求極限

　　重難點提示：

　　夾逼定理和單調有界原理在計算極限中的運用

　　備注：

　　1.夾逼定理求極限時，需對式子進行適當的放縮；

　　2.由遞推公式給出的數列一般先用單調有界原理判斷該數列極限的存在性

　　?第七天

　　學習任務：連續(xù)的定義與性質

　　大綱要求：

　　1.理解函數連續(xù)性的概念

　　2.了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性

　　3.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，并會應用這些性質

　　重難點提示：

　　1.函數在一點處連續(xù)的定義

　　2.閉區(qū)間上連續(xù)函數性質的應用

　　備注：

　　1.判斷分段函數在分段點處連續(xù)性時通常需要驗證：f(x0+0)=f(x0-0)=f(x0)

　　2.考研中閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質易與中值定理結合考查，現階段了解內容即可.

　　?第八天

　　學習任務：間斷點類型的判斷

　　大綱要求：會判斷函數間斷點的類型

　　重難點提示：判斷函數間斷點的類型

　　備注：函數的無定義的點一定是間斷點

　　?第九天

　　學習任務：導數的定義

　　大綱要求：

　　1.理解導數概念及其幾何意義

　　2.了解導數的物理意義，并會用導數描述一些物理量（數一、數二）

　　3.會求平面曲線的切線和法線方程

　　重難點提示：

　　1.函數在一點處導數定義

　　2.平面曲線過某點處的切線方程和法線方程

　　3.難點：靈活運用導數的定義

　　備注：求函數在某點處的導數就是計算0/0型極限

　　?第十天

　　學習任務：微分的定義；函數連續(xù)、可導、可微三者關系

　　大綱要求：

　　1.函數的可導性與連續(xù)性之間的關系

　　2.理解微分的概念及導數與微分的關系

　　3.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性

　　4.會求函數的微分

　　重難點提示：

　　1.函數的可導、連續(xù)、可微之間的關系

　　2.難點：微分的定義的理解

　　備注：

　　1.可導與可微的關系是等價的

　　2.導數和微分的本質是不同的：導數是增量比的極限：微分是因變量增量的線性主部

　　?第十一天

　　學習任務：導數的四則運算法則和復合函數的求導法則

　　大綱要求：掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則

　　重難點提示：復合函數的求導法

　　備注：

　　一定要熟記基本初等函數的導數公式；

　　在求復合函數的導數時，要明白哪個是自變量，哪個是因變量。

　　?第十二天

　　學習任務：各種函數求導法則

　　大綱要求：

　　1.會求分段函數的導數；

　　2.會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數

　　重難點提示：

　　1.分段函數的分段點處的導數

　　2.隱函數的求導方法

　　3.參數方程的二階導數

　　4.反函數的二階導數

　　備注：

　　1.在判定分段函數的分段點是否可導時，一般利用導數定義；

　　2.隱函數的求導一共有3種方法（在方程兩邊直接求導；公式法；微分不變性）

　　3.參數方程求二階導數的方法，掌握解題思路；

　　4.反函數求二階導數的方法，理解導數即是微分的商，靈活求導。

　　?第十三天

　　學習任務：高階導數的計算

　　大綱要求：

　　1.了解高階導數的概念

　　2.會求簡單函數的高階導數

　　重難點提示：

　　求函數的高階導數在一點的導數值；

　　備注：

　　求n階導數的基本方法有：

　　1.數學歸納法

　　2.遞推公式法

　　3.用泰勒公式和冪級數展開進行比較求一點的n階導數等

　　?第十四天

　　學習任務：導數應用：極值和最值

　　大綱要求：

　　1.理解函數的極值概念

　　2.掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法

　　3.掌握函數最大值和最小值的求法及其應用

　　重難點提示：

　　1.函數單調性的應用（證明不等式）

　　2.函數極值的必要條件及兩個充分條件

　　3.函數最值的求法

　　備注：

　　求函數f(x)極值的一般步驟為：

　?。?）求f'(x)；

　?。?）求出函數f(x)的所有駐點和一階導數不存在的點

　　（3）然后再利用判定函數極值的充分條件進行判定

　　?第十五天

　　學習任務：導數應用：函數凹凸性、拐點和漸近線

　　大綱要求：

　　1.會用導數判斷函數圖形的凹凸性

　　2.會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線

　　3.會描繪函數的圖形

　　重難點提示：

　　如何判定一個點是否為拐點的方法；

　　曲線拐點的必要條件和充分條件；

　　三種漸近線的求法

　　備注：

　　求曲線f(x)在區(qū)間I內拐點

　　的一般步驟為：

　　(1)求f''(x)；

　　(2)令f''(x)=0，解出這方程在區(qū)間I內的實根，并求出在區(qū)間I內f''(x)不存在的點；

　　(3)然后再利用判定拐點的充分條件進行判定。

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