考研數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)：分段函數(shù)求高階導(dǎo)

　　摘要：對(duì)于分段函數(shù)求一階導(dǎo)，各位怕是早已爛熟于心，那么求高階導(dǎo)數(shù)呢？大家是不是會(huì)經(jīng)常出錯(cuò)，但也發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤在哪里，今天幫幫就教大家分段函數(shù)求高階導(dǎo)。

　　不僅是分段函數(shù)，對(duì)于一般的函數(shù)，求個(gè)三五次導(dǎo)還好說(shuō)？求n次導(dǎo)呢？一般對(duì)于這種無(wú)法實(shí)現(xiàn)的求導(dǎo)，就可以將導(dǎo)數(shù)與級(jí)數(shù)結(jié)合在一起。

　　(導(dǎo)數(shù)如此，那么其他地方呢?其實(shí)，有些看似不可積的函數(shù)，與級(jí)數(shù)結(jié)合后未必不可積哦?。?br />
　　從一道經(jīng)典的題入手

　　先來(lái)復(fù)習(xí)一下分段函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)怎么求：

　　連續(xù)的部分直接用求導(dǎo)公式求

　　分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值用導(dǎo)數(shù)的定義求

　　接下來(lái)看高階導(dǎo)數(shù)，先看操作

　　那么y(x)的導(dǎo)數(shù)就可以寫(xiě)成

　　接下來(lái)看高階導(dǎo)數(shù)，先看操作

　　然后化簡(jiǎn)一下

　　然后我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=0時(shí)

　　那么我原來(lái)的分段函數(shù)就可以如下表示

　　也就是我的分段函數(shù)用一個(gè)式子表示出來(lái)了。

　　下面我們來(lái)理一理思路：

　　首先，這是一個(gè)求導(dǎo)題，而且是求高階導(dǎo)

　　求導(dǎo)我們一般有兩種方法

　　一是用定義，這對(duì)于分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)貌似很合適

　　二是用求導(dǎo)公式，一般連續(xù)函數(shù)才能用這個(gè)方法

　　但是用定義法去求這里的高階導(dǎo)數(shù)，貌似不合適，如果只是求個(gè)2階導(dǎo)數(shù)，3階導(dǎo)數(shù)似乎可以硬著頭皮算。

　　看到n次導(dǎo)數(shù)，想到了萊布尼茲的高階求導(dǎo)公式，但是那個(gè)好像只能用于連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)，而且求導(dǎo)公式只能對(duì)一個(gè)函數(shù)式子求導(dǎo)。

　　然而我們的第一步，就是將一個(gè)分段函數(shù)用一個(gè)表達(dá)式子來(lái)表示，這樣的話就滿足用求導(dǎo)公式這種方法的使用條件了。

　　分段函數(shù)一般給大家的第一印象就是不連續(xù)（這是偏見(jiàn)啊!)

　　分段函數(shù)并不是不連續(xù)，只是有的時(shí)候沒(méi)辦法用一個(gè)式子去表達(dá)自己的函數(shù)關(guān)系，但是有的時(shí)候級(jí)數(shù)是可以的，這就是這里我們采用級(jí)數(shù)的方法的原因（題中x=0時(shí)sinx/x是沒(méi)有定義的，但是級(jí)數(shù)就沒(méi)有這顧慮，因?yàn)榧?jí)數(shù)的x都是在分子上的。）

　　接下來(lái)繼續(xù)答題，我們已將分段函數(shù)用一個(gè)式子表示了，下面有兩種做法，第一種：將所給式子求n次導(dǎo)數(shù)后，將x=0代入得到答案。這是可以的，但是這種莽夫的做法。我們一般用第二種更高級(jí)的方法。（麥克勞林級(jí)數(shù)）

　　這是什么操作？

　　然后我們知道分段函數(shù)可以有兩種表示方式了

　　然后看下面一種致命錯(cuò)誤:

　　貌似沒(méi)毛??？

　　但是式子①中左邊式子中只有x的偶次數(shù)項(xiàng)，而右邊既有x的偶次數(shù)項(xiàng)也有x的奇次數(shù)項(xiàng)，當(dāng)n=3時(shí)，左右兩邊的x的次數(shù)明顯不等。

　　那么當(dāng)n時(shí)奇數(shù)的時(shí)候，為了保證左右兩邊x的指數(shù)相等，f(x)在0處的n階導(dǎo)必為0；那么右邊的式子就只剩下x的偶數(shù)次項(xiàng)了。

　　有人會(huì)問(wèn)，為什么這里②式中的分子里的n不換成2k?

　　因?yàn)檫@個(gè)級(jí)數(shù)的所有項(xiàng)都是滿足n=2k的，你把n換成2k也對(duì)，但這樣你求的就是f(x)在0的2k次導(dǎo)數(shù)，而我們需要的時(shí)n次導(dǎo)，這只是一個(gè)表示方式的問(wèn)題，其表示的內(nèi)容都是一樣的。

　　所以得到最后答案

　　最后補(bǔ)充：

　　對(duì)于求高階導(dǎo)數(shù)，尤其是n次導(dǎo)數(shù)

　　1.萊布尼茲公式一般用于所給的f(x)是一個(gè)表達(dá)式的時(shí)候

　　2.而級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法是特別針對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)的

　　3.至于麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)均可以和上面2個(gè)情況結(jié)合起來(lái)

　　一般用于求f(x)在x=0的高階導(dǎo)數(shù)的情況。不管是分段函數(shù)還是一個(gè)表達(dá)式表示的函數(shù)，都可以用麥克勞林級(jí)數(shù)，起的是一個(gè)化簡(jiǎn)計(jì)算的作用。

　　（實(shí)習(xí)小編：咕咚）